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AP 各学科「速成」笔记导览

Unit 2: Conductors, Capacitor and Dielectrics

Conductor

Electrostatics

• 因为导体中含有很多自由电子，所以若内部有电场，就一定会产生电流使得整个导体不平衡，若是平衡则一定没有电场。
• 所有的多余电荷都在导体表面
• 在导体内部没有静电场 $E = 0$
• 导体是等势体，因为没有静电场

Charge Distribution on Conductor 电荷在导体上的分布

• 对于图 c 而言，我们有 $\phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \quad Q_{\text{enc}} = q + Q_{\text{inner surface}} \Leftrightarrow Q_{\text{inner surface}} = -q$

Field at the Surface of Conductor 在导体表面的电场

• 电荷在尖端聚集，且电场方向始终垂直于表面。
• 因为 $E_{\text{inside}} = 0$, $-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = E = 0$ 在导体内部是等势体
  • 所以若电荷在等势体内移动 $\Delta V = 0, \Delta U = 0, W = 0$ 也就是一定沿着电场线垂直方向移动，电场不做功

Electrostatic Shielding 电磁屏蔽

• 静电屏蔽是指导体外壳对它的内部起到「保护」作用，使它的内部不受外部电场的影响。如法拉第笼 Faraday Cage

AP MCQ Practice 练习

• AP 2012: C C

• 可以在 $+3Q$ 外面的球面中间构造高斯面，同样的 $\phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \quad Q_{\text{enc}} = -Q + Q_{\text{inner surface}} \Leftrightarrow Q_{\text{inner surface}} = +Q$ 而后整体需要平衡所以外表面就是 $+2Q$

• AP 2012: C

• AP 2012: E

• 连通了就可以看整个作为一个导体，内部就是等势体
  • 若是要求最终等势体的 $V$，则考虑 $ $$\begin{cases} V_1 = V_2 \\ q_1 + q_2 = q_\text{tol} \end{cases}$$ $ 因为两个球之间距离视为无限远，那么两个球所产生的电场 $E$ 不会相互影响所以有 $ $$\begin{cases} V_1 = k\cdot \frac{q_1}{r_1} \\ V_2 = k\cdot \frac{q_1}{r_1} \\ \end{cases}$$ q_1 : q_2 = r_1 : r_2 $$\begin{cases} q_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2}q \\ q_2 = \frac{r_2}{r_1+r_2}q \end{cases}$$ V = $
• 电荷分布分析

• 当 $a < r < b$ 是，$E = 0$，所以 $Q_{\text{inner}} = -Q$

Capacitor

• 电容器是储存电势能，或说电量的元器件
• 一般的形式就是像如下图所示的平行板电容器一样

• 但只要可以有正负势差，就可以称之为电容器，比如下面这些

• 所以我们定义，单位电势差所储存的电量，便是电容，定义式如下

$$\begin{aligned} C &= \frac{Q}{\Delta V} \\ ~ \\ \pu{1 F} = \pu{1 Farad} &= \pu{1 C*V-1} = \pu{1 Coulomb*Volt-1} \end{aligned}$$

Parallel Plate Capacitor 平行板电容器

• 首先，观察上下两个平行板，虽然是 $+Q$, $-Q$，但总的带电量就是 $Q$（也就是使得两边中和，电势差为 $0$）

• 对于平行板电容器，最重要的前提是忽略边缘效应，也就是 $A \gg d$ 使得平行板近似为无限大平面

• 根据先前的知识我们知道，对于一块平行板，电场为 $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$，我们将 $$ 展开，得到 $E = \frac{Q}{2 \epsilon_0 A}$，对于平行板电容器，有两块平行板，电场便是 $E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$

• 这个在平行板电容器之间的电势差 $\Delta V_{ab} = Ed = \frac{Qd}{ \epsilon_0 A}$

• 根据电容的定义式 $C = \frac{Q}{\Delta V} = \epsilon_0 \frac{A}{d}$

• 另外的，电容器也并不一定需要两个导体组成，对于单个导体而言，大地（也就是 Earth），认为是电容的另外一极。

Calculation Practice 练习

• Notice: $_0 = , k = =$

• 我们知道对于平行板电容器 $C = _0 A =$ 计算得到 $\pu{1.15e8 m2}$

• a

$$C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\pu{8.85e-12} \times \pu{2 m2}}{\pu{5e-3}} = \pu{3.52 nF}$$

• b

$$C = \frac{Q}{\Delta V} \Leftrightarrow Q = C \cdot \Delta V = \pu{3.52e-9 F} \cdot \pu{1.0e4 V} = \pu{35.2 \mu C}$$

• c

  • 通过 a, b 两问的结果计算

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$$

• 通过匀强电场公式直接计算

$$E = \frac{\Delta V}{d} = \frac{\pu{1.0e4 V}}{\pu{5e-3 m}} = \pu{2e6 V/m}$$

Geometry Capacitor 其他几何状的电容

Spherical Capacitor 球电容

• 也就是已知 $Q$，对于 $C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}}$，需要求 $\Delta V_{ab}$
• 我们构建如图所示的，半径为 $r$ 的球形高斯面

$$\begin{aligned} \phi_E &= \oint \vec{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} = E \cdot \oint \mathrm{d}A = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \\ &= E \cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \end{aligned}$$

• 已知 $Q_{\text{enc}} = Q$，所以对于 $E$ 我们有

$$E \cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\epsilon_0} \Leftrightarrow E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^{2}}$$

• 所以对于 $\Delta V_{ab}$

$$\Delta V_{ab} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\cdot (\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b})$$

$$C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}} = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b-r_a}{r_a r_b}} = \frac{\epsilon_0 \cdot 4\pi r_a r_b }{r_b- r_a}$$

• 其中为了更好的理解和记忆，可以发现其与 平行板电容器，电容值计算之间的相似性 $C = \frac{\epsilon A}{d}$，可以认为在球电容中，其面积为半径的几何平均值 $A = 4\pi r_a r_b$, 距离则为半径的差 $r_b - r_a$

Cylindrical Capacitor 柱电容

• 也就是已知 $Q = \lambda L$，对于 $C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}}$，需要求 $\Delta V_{ab}$
• 已知无限长直导线的电场为 $E = \frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}$
• 所以对于 $\Delta V_{ab}$

$$\Delta V_{ab} = \left\vert - \int_{r_a}^{r_b} \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} ~\mathrm{d}r \right\vert = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln \frac{r_b}{r_a}$$

$$C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}} = \frac{\lambda L}{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln \frac{r_b}{r_a} } = \frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln \frac{r_b}{r_a}}$$

Energy Storage in Capacitor 电容器的能量

• 对于电容器的能量 $U$，因为电势差 $\Delta V$ 在充放电过程中是变化的，所以无法使用 $Q \cdot \Delta V$ 这种形式得到电容器的能量，所以必须考虑其微分形式

$$\mathrm{d}W = v \cdot \mathrm{d}q = \frac{q\cdot \mathrm{d}q}{C}$$

• 积分得

$$\int_{0}^{Q} \frac{q}{C} ~\mathrm{d}q = \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} q^{2}\bigg|^{Q}_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^{2}}{C}$$

• 以此我们可以得到多个变形公式

$$U = \frac {Q^2}{2C} = \frac 12CV^2 = \frac 12 QV$$

Energy Density in Capacitor 电容器的能量密度

• 我们可以认为一定的能量被存储在一个固定的区域中，所以可以计算密度如下

$$u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{\frac{1}{2} CV^{2}}{Ad} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\epsilon_0 A}{d} \cdot (Ed)^{2}}{Ad}$$

• 得到一个与电容器参数无关的能量密度公式

$$u = \frac 12\epsilon_0 E^2$$

• 也就是说，在真空中，任何带电场 $E$ 的区域都有能量密度 $u$ 且至于电场 $E$ 有关

Energy Density of Spherical Capacitor 球电容的能量密度

• 通过 Spherical Capacitor 一节中，我们计算了球电容公式为 $C = \epsilon_0 \cdot \frac{4\pi r_a r_b}{r_b - r_a}$

• 第一种方法，通过 $U =\frac{1}{2} Q \cdot \Delta V = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} = \frac{1}{2} C\cdot \Delta V^{2}$ 计算

$$U = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{\epsilon_0 \cdot \frac{4\pi r_a r_b}{r_b - r_a}} = \frac{Q^{2}}{8 \pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b - r_a}{r_a r_b}$$

• 第二种方法，通过能量密度 $u$ 积分

$$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \cdot (\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^{2}})^{2}$$

$$\begin{aligned} U &= \int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{32\pi ^{2} \epsilon_0} \cdot \frac{Q^{2}}{r^{4}} \cdot 4\pi r^{2}~\mathrm{d}r \\ &= \int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q^{2}}{r^{2}} ~\mathrm{d}r \\ &= \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_0}(- \frac{1}{r})\bigg|^{r_b}_{r_b} = \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b - r_a}{r_a r_b} \end{aligned}$$

Factor Affecting Parallel Plate Capacitors 影响电容的因素

• $\Delta V$ 不变，也就是接上电源

  

  • $d$ 的变化反向影响 $C, Q, E, U$
  • $A$ 的变化不影响 $E$，$E = \frac {\Delta V}{d}$
  • 直觉：电容 $C$ 变大后面 $Q, U$ 显然变大（可以充更多电），除了 $E$ 与 $A$ 的关系不大，$E$ 只考虑和 $d$ 的关系

• $Q$ 不变，也就是断开电源

  

  • $d$ 上升，那么显然的 $C$ 下降，因为 $Q$ 不变所以 $C = \frac{Q}{\Delta V }$, 所以 $\Delta V$ 会上升，而 $E$ 在此时反而于 $d$ 无关，考虑 $E = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ 均不变。$U$ 随着 $\Delta V$ 方向上升
  • $A$ 下降，那么显然的 $C$ 下降，因为 $Q$ 不变所以 $C = \frac{Q}{\Delta V }$, 所以 $\Delta V$ 会上升，而 $E$ 在此时反而于 $A$ 有关，考虑 $E = \frac{Q}{A \epsilon_0}$，所以 $E$ 上升。$U$ 随着 $\Delta V$ 方向上升
  • 直觉：电子不让动，显然空间变少或者压力变大

• AP 2013: A

  

  • $C= \epsilon\frac Ad$
  • 拓展问题：若以选项 C 为电场 $E_0$，那么 A 的电场 $E'$ 应为多少？
    • 考虑 $E' = \frac{Q'}{\epsilon_0 \cdot 2A } = \frac{C' \Delta V}{\epsilon_0 \cdot 2A} = \frac{4 C \cdot \Delta V}{\epsilon_0 \cdot 2A} = \frac{4 Q}{\epsilon_0 \cdot 2A} = 2 \cdot \frac{Q}{\epsilon_0 A}$，所以应为 $E' = 2E_0$

Dielectrics 电介质

• 电介质是用于插入平行板电容器之间，用于分离平行板和提高平行板电容器的击穿电压（Maximum Possible Potential Difference），使得电容更大
• 当我们插入电介质时，会将在真空中的电容提升一定的比例，我们称这个比为 $\kappa$，相对介电常数

$$\kappa = \frac {C}{C_0}，C = \kappa C_0$$

Common Dielectrics 常见电介质

Induced Charge 诱导电荷

• 为什么电介质会提升电容呢？

• 当没有电场时，极性分子无规则排布，而当有电场时，极性分子就会开始逐渐对齐电场线方向

• 这会使得极性分子产生一个与原有电场相反的感应电场，使得其可以抵消一部分原有电场。

• 具体步骤如图所示

• 如果 $Q$ 不变 $V = \frac {V_0}{\kappa}$，$E = \frac {E_0}{\kappa}$ （均变小）
  • $\epsilon = \kappa \epsilon_0$
  • $u = \frac 12 \kappa \epsilon_0E^2 = \frac 12 \epsilon E^2$
  • $\sigma_i = \sigma (1 - \frac 1\kappa)$

How Dielectric Affecting Parallel Plate Capacitors 电介质如何影响平行板电容器

• 若 $\Delta V$ 不变，插入电介质
  • $C = \kappa C_0$ 上升，$Q = C \Delta V$ 上升，$E = \frac{\Delta V}{d}$ 不变
  • $U = \frac{1}{2} Q \cdot \Delta V$ 上升
• 若 $Q$ 不变，插入电介质
  • $C = \kappa C_0$ 上升，$\Delta V = \frac{Q}{C}$ 下降，$E = \frac{\Delta V}{d}$ 下降
  • $U = \frac{1}{2} Q \cdot \Delta V$ 下降

AP MCQ Practice 练习

• AP 2015: B

• AP 2017: A E